Analemmatische zonnewijzers
Op deze pagina vind je de volgende onderwerpen:
Het principe van de analemmatische zonnewijzer
We gaan uit van een equatoriale zonnewijzer, type hoepelsfeer, zoals Genk-1. Neem een bepaald tijdstip, bijvoorbeeld 11 uur (plaatselijke tijd). Op verschillende dagen valt de schaduw van de poolstijl om 11 uur altijd op het 11-uurs punt van de urenband. Van welk punt op de poolstijl is die schaduw afkomstig?
Dat gaan we na door een zonnestraal 'door' de poolstijl naar het 11-uurs punt te trekken. Op het zomer-solstitium (21 juni) staat de zon hoog en is dit de groene straal. Op de equinox (21 maart of 23 september) staat de zon wat lager en geeft hij de gele straal. (Bij de zonnewijzer hiernaast is de urenring gesloten en zou het voorste deel de zon afschermen, maar denk de voorkant even weg.) Op het winter-solstitium (21 december) staat de zon laag; de paarse lijn geeft aan van welk punt op de poolstijl de schaduw dan afkomstig is.
Op deze manier kun je je voorstellen dat er langs de poolstijl een datumschaal aangebracht wordt. Die loopt van 21 juni (de groene stip) tot 21 december (de paarse stip) en weer terug naar 21 juni.
Projecteer nu de urenring recht naar beneden op de grond. De projectie is een ellips, met de lange as oost-west en de korte as noord-zuid. Op de ellips liggen de projecties van de uurpunten, waarvan er in blauw een aantal zijn aangegeven. Het punt voor 12 uur plaatselijke tijd ligt aan de noordzijde op de korte as van de ellips.
Projecteer nu ook de datumschaal die we langs de poolstijl geconstrueerd hadden, recht naar beneden. En stel je voor dat de verticale groene, gele en paarse lijnen echte staven zijn. Op 21 juni zal de schaduw van de groene verticale staaf precies op het 11-uurs punt van de ellips vallen. Evenzo zal op 21 maart en 23 september de schaduw van de gele staaf op het 11-uurs punt vallen, en op 21 december de schaduw van de paarse staaf.
Nu de laatste stap: vervang de rij verticale staven door één verplaatsbare staaf, jezelf bijvoorbeeld. Als je om 11 uur op het juiste punt van de datumschaal gaat staan, zal je schaduw op het 11-uurs punt van de ellips vallen.
Uit deze figuur is ook duidelijk dat de uurpunten verticaal uitgerekt mogen worden tot een 'uurlijn', omdat de schaduwgever ook verticaal staat. Dat is bijvoorbeeld toegepast bij Genk-6. Om dezelfde reden mag de datumlijn ook best wat hoger liggen, zodat je schaduw wat verder reikt, zoals in Leoben.
De vorm op verschillende geografische breedtes
Uit de beschrijving van het principe van de analemmatische zonnewijzer volgt al dat zijn vorm afhangt van de geografische breedte. Op de evenaar is de ellips platgedrukt tot een rechte oost-west lijn, met haaks daarop een lange datumlijn. Naar de polen toe krimpt de datumlijn en groeit de korte as van de ellips. Bij de keerkringen zijn ze even lang. Op de polen zou de ellips een cirkel zijn en de datumlijn een punt: de equatoriale zonnewijzer is terug.
De lengte van de korte as en van de datumlijn ten opzichte van de lange as zijn in de grafiek hierboven uitgezet tegen de geografische breedte. De voorbeelden hieronder maken dit wat concreter. Ze zijn gedacht op het noordelijk halfrond. Twaalf uur 's middags plaatselijke tijd is bovenaan. De 'functionele' uurpunten zijn rood gevuld, de andere blauw. De datumlijn is voor de duidelijkheid ingedeeld volgens de dierenriem-maanden. De ruitvormige punten zijn de brandpunten van de ellips.
Beneden de 30° is je schaduw vaak erg klein. Ook sta je 's zomers op of vlakbij de ellips. Hierdoor wordt de aflezing erg onnauwkeurig. Boven de 60° wordt de datumlijn zo kort dat je bijna geen verplaatsbare schaduwgever meer nodig hebt. De analemmatische zonnewijzer is dus het meest aantrekkelijk zo tussen de 35° en 55°. De ca. 50 exemplaren op deze site liggen allemaal tussen 30° en 54°, met uitzondering van die in Torreón (ca. 25°).
Wat is een mooie maat?
Ik ga hier uit van een mens als schaduwgever. Hoever reikt zijn schaduw, eventueel verlengd doordat hij de handen boven het hoofd tegen elkaar houdt? En dat op verschillende dagen en tijdstippen, en op verschillende geografische breedtes?
Je kunt zijn kruin (of vingertoppen) als index van een puntzonnewijzer beschouwen. De schaduw volgt gedurende de dag een pad zoals gebruikelijk is bij een horizontale puntzonnewijzer (zie bijvoorbeeld Genk-2). Daar heet dat pad een datumlijn, maar die naam is hier al vergeven aan iets anders, dus laten we dat pad een 'datumboog' noemen...
Op verschillende data staat de bezoeker echter op verschillende plaatsen op de datumlijn, waardoor de datumbogen ten opzichte van elkaar verschuiven. Hoeveel dat is hangt af van de lengte van de datumlijn. Die wordt op zijn beurt bepaald door de grootte van de zonnewijzer en de breedtegraad. Er is dus enig rekenwerk nodig om te zien hoe dit in de praktijk uitpakt. Dat is gemakkelijk te doen in een spreadsheet-programma.
Ik ben uitgegaan van een gnomon-hoogte (kruin of vingertoppen) van 2 meter, en heb twee groottes van de lange as vergeleken, nl. 6 en 10 meter. Ik heb drie geografische breedtes gekozen in het meest aantrekkelijke gebied (zie hierboven): 35°, 45° en 55°, en heb daarvoor de datumbogen berekend per dierenriem-maand (dus stappen van 30° langs de ecliptica), voor het noordelijk halfrond. Hieronder het resultaat:
Je ziet dat de schaduw 's zomers gedurende een groot deel van de dag de rand van de kleine ellips nog niet haalt. Bij de grote ellips komt de schaduw dan zelfs niet halverwege. Hoewel het geen probleem is je schaduw in gedachten te verlengen, moet dat niet te ver hoeven. Dan wordt de nauwkeurigheid minder en kun je de uurpunten minder goed lezen. Het zou interessant zijn om in de praktijk eens te onderzoeken hoeveel verlenging mensen nog tolereren...
's Winters valt de schaduw in het algemeen over de rand van de ellips. Dan kan het een bezwaar zijn dat de schaduw op de rand te breed is om de tijd nauwkeurig af te lezen.
Ervan uitgaande dat een analemmatische zonnewijzer 's zomers de meeste belangstelling zal trekken, is 6 meter een mooie maat. Als de zonnewijzer vooral door kinderen gebuikt zal worden, dient hij navenant kleiner te zijn.
Je ziet in de figuur ook dat het patroon van datumbogen interessante variaties kan vertonen. In veel gevallen gaan de datumbogen voor de zomermaanden door elkaar lopen, zodat de schaduw niet op 21 juni het verst van de ellips vandaan blijft, maar op andere data.
Geen lus rond de datumlijn!
Als je de plaatselijke tijd die een zonnewijzer aanwijst wilt omrekenen naar kloktijd, heb je o.a. de waarde van de tijdsvereffening nodig. Die wordt soms bij de zonnewijzer vermeld in de vorm van een tabel of grafiek. Bij een analemmatische zonnewijzer is het verleidelijk om de correctie aan te brengen door een stukje naast de datumlijn te gaan staan, als de zon voor of achter loopt bij de middelbare zon.
Dat is kennelijk het idee van de lus, die bij een kwart van de zonnewijzers op deze site rond de datumlijn is aangebracht. Echter, de correctie klopt wellicht rond het middaguur, maar in de ochtend en de namiddag ontstaan aanzienlijke afwijkingen, die al gauw groter zijn dan de correctie waar het om gaat.
Je moet dus altijd op de datumlijn gaan staan en niet op de tijdsvereffeningslus, ook als dat door bordjes of folders wordt voorgeschreven. Je kunt de lus hooguit gebruiken om de tijdsvereffening te schatten door de afstand tot de datumlijn af te passen langs de ellips vanaf het 12-uurs punt. Als de ontwerper die schaal tenminste aangehouden heeft, wat bijv. in Brou al niet het geval lijkt.
De bron van de ellende is waarschijnlijk de zonnewijzer in Brou, waar een dergelijke lus toegevoegd is bij de restauratie in 1902. Dat is gebeurd door de aannemer, die tevens zonnewijzer-amateur was. Mayall & Mayall, auteurs van een in Amerika gezaghebbend zonnewijzerboek, namen de vermeende functie van de lus klakkeloos over (p. 223 in de herdruk uit 2000), compleet met foto. Dat is waarschijnlijk de reden dat het lus-virus vooral in Noord-Amerika en Australië de kop opsteekt.
Er zijn twee uitzonderingen:
De lus rond de datumlijn bij de zonnewijzer van Marinus Hagen had een eigen minutenschaal haaks op de datumlijn, waarop de tijdsvereffening afgelezen kon worden. Hierbij wordt de datumlijn dus tevens gebruikt als X-as voor de tijdsvereffeningsgrafiek.
De andere uitzondering is de zonnewijzer in Longwood Gardens. De ellips is op het 12-uurs punt in tweeën gesplitst, en elke helft heeft een eigen lus. Die hebben niet de gebruikelijke vorm van de tijdsvereffeningslus, maar zijn speciaal zo berekend dat de kloktijd afgelezen kan worden met een fout die nooit meer dan enkele minuten bedraagt.
Overigens is de analemmatische zonnewijzer een typische zomer-attractie. En dan is de tijdsvereffening op het noordelijk halfrond nooit meer dan 6 minuten. Dus die lussen zijn hier sowieso overbodig!
Variaties in de uitvoering
Er zijn vele aspecten waarop bij de analemmatische zonnewijzer gevarieerd kan worden. Sommige gelden ook voor andere typen zonnewijzers, andere alleen voor dit bijzondere type. Een lange lijst, dus.
Uurpunten
Datumlijn
Schaduwgever
Wijzerplaat
Overige aspecten
Omtrek van een ellips
Als je een analemmatische zonnewijzer aanlegt, moet je voor de inkoop van de materialen wel weten wat het oppervlak en de omtrek van de elliptische wijzerplaat zijn.
Voor het oppervlak van een ellips bestaat een eenvoudige formule:
A = pi . a . b ,
waarin a en b de halve lange resp. halve korte as van de ellips zijn. Dit is een voor de hand liggende generalisatie van de formule voor het oppervlak van een cirkel:
A = pi . r . r ,
waarin r de straal van de cirkel is.
De omtrek is een heel ander verhaal. Voor de cirkel is het eenvoudig:
C = 2 . pi . r ,
maar voor de ellips bestaat er niet zo'n eenvoudige formule. Als je die zelf probeert af te leiden, kom je op een 'onoplosbare' (niet primitiveerbare, is de vakterm) integraal uit. Geen onnozel ding, want de elliptische integralen vormen een belangrijk stuk wiskunde. Maar daar heb je weinig aan als je bij het tuincentrum staat voor tegels of kinderkopjes...
Met numerieke methoden kun je de omtrek natuurlijk wel uitrekenen. De grafiek hieronder geeft de omtrek weer als functie van de verhouding korte/lange as, uitgedrukt t.o.v. de omtrek van de omgeschreven cirkel (dus met straal a).
Een hele goede benadering (binnen 0.5%) wordt verkregen met de formule:
C = pi [ 3(a+b) - V{(a+3b).(3a+b)} ] ,
die afkomstig is van de Indiase wiskundige Ramanujan (1914). (V is het wortel-teken.)
Lees de roerende biografische schets van dit genie.
Websites over analemmatische zonnewijzers
Inmiddels zijn er al verscheidene sites die gewijd zijn aan de analemmatische zonnewijzer (wel allemaal in 't Engels):
Chris Budd & Chris Sangwin, Analemmatic sundials: how to build one and why they work. Een uitgebreid, goed geschreven verhaal, in het on-line wiskunde-tijdschrift Plus, juni 2000.
John Hoy, Make an analemmatic garden sundial. Eenvoudige, begrijpelijke handleiding.
Frederick W. Sawyer, Of analemmas, mean time, and the analemmatic sundial. Het verhaal over de zonnewijzer in Longwood Gardens, met veel achtergrond-informatie.
Needham Science Center Schoolyard Sundial. Voor een habbekrats het ontwerp voor een zonnewijzer op het schoolplein.
Modern Sunclocks (Douglas Hunt), uw analemmatische zonnewijzer op bestelling! Zie ook het exemplaar in Lafayette (Louisiana, USA).